Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 \sqrt{x} + 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x + 2 \sqrt{x} - 1$ и $g (x) = 4 \sqrt{x} + 5$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x} + 5] + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 2

По правилу суммы производная $4 \sqrt{x} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.10

Объединим $4$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.12

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 4.2

Добавим $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $4 x + 2 \sqrt{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.3

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.10

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.12

Сократим общий множитель.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6.13

Перепишем это выражение.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Этап 7.2

Добавим $4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{4 \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.3

Объединим $x$ и $\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.4

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$\frac{8 \cdot x}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.5

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$8 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.6

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{- \frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.6.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{- \frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.6.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.7

Объединим $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.9

Объединим $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $\sqrt{x}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.10

Перепишем $- 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8.2.11

Чтобы записать $(4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.13

Чтобы записать $8 x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.15

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.15.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.15.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.15.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.15.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{8 x^{1} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.16

Упростим $8 x^{1}$ .

$\frac{8 x + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 x + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.2

Перенесем $4$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.4

Развернем $(4 x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 \sqrt{x} + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x} + 5) + 1 (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x}) + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x}) + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.5.1

Умножим $4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.5.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{16 x^{\frac{2}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.5.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 x^{\frac{2}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{16 x^{1} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.2

Упростим.

$\frac{16 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.3

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{16 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.4

Умножим $4 \sqrt{x}$ на $1$ .

$\frac{16 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.5.5

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{16 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.6

Добавим $16 x$ и $8 x$ .

$\frac{24 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + 5 - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.7

Добавим $4 \sqrt{x}$ и $4 \sqrt{x}$ .

$\frac{24 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 5 - 2 + 8 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.4.8

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{24 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 3 + 8 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$