Математический анализ Примеры

$h (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ имеет вид $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ , где $f (u) = u - \sqrt{u}$ и $g (u) = u + \sqrt{u}$ .

$(u - \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u + \sqrt{u}] + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $u + \sqrt{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$ .

$(u - \sqrt{u}) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $u - \sqrt{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}]$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}])$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d u} [- \sqrt{u}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [- u^{\frac{1}{2}}])$

Этап 6.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u$ , производная $- u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ равна $- \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}])$

Этап 6.3

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 6.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 6.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 6.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 6.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 6.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 6.10

Перенесем $u^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок членов.

$(1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Развернем $(1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u - \sqrt{u})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (u - \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $u$ на $1$ .

$u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- \sqrt{u}$ на $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ и $u$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.4

Перенесем $u^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.5

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.5.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u} + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.2.7

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.3

Развернем $(1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 (u + \sqrt{u}) - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u + \sqrt{u})$

Этап 7.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $u$ на $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $\sqrt{u}$ на $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.3

Объединим $u$ и $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.4

Перенесем $u^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.5

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.5.1

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.5.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.5.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

Этап 7.2.4.6

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.3

Объединим противоположные члены в $u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $- \sqrt{u}$ и $\sqrt{u}$ .

$u + 0 + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.3.2

Добавим $u$ и $0$ .

$u + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.3.3

Вычтем $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ из $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$u + 0 - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.3.4

Добавим $u$ и $0$ .

$u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u + u + \frac{- \sqrt{u} - \sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.5

Вычтем $\sqrt{u}$ из $- \sqrt{u}$ .

$u + u + \frac{- 2 \sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{u}$ .

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 (u^{\frac{1}{2}})}$

Этап 7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$u + u + \frac{- \sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u + u - \frac{\sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.7

Добавим $u$ и $u$ .

$2 u - \frac{\sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$