Математический анализ Примеры

$y = {\sin (5 x)}^{8 x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\sin (5 x)}^{8 x}$ в виде $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})$ , вынося $8 x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \ln (\sin (5 x))}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 8 x \ln (\sin (5 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $8 x \ln (\sin (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $8 x \ln (\sin (5 x))$ .

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x \ln (\sin (5 x))$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$ .

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))])$

Этап 3.2

Перенесем $8$ влево от $e^{8 x \ln (\sin (5 x))}$ .

$8 \cdot e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Переведем $\frac{1}{\sin (5 x)}$ в $\csc (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.3.2

Перенесем $5$ влево от $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \cdot 1)$

Этап 8.5

Умножим $\ln (\sin (5 x))$ на $1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

Этап 9.2

Умножим $5$ на $8$ .

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \csc (5 x) \cos (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \cos (5 x) \csc (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$