Математический анализ Примеры

$y = {(2 x - 7)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 7$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Этап 2

По правилу суммы производная $2 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 + 0)$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} \cdot 2$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 {(2 x - 7)}^{2}$