Математический анализ Примеры

$y - x \sin (x y)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $y - x \sin (x y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Этап 1.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x \sin (x y)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x y)$ .

$0 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$0 - (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 - (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$0 - (x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \cdot 1)$

Этап 2.7

Умножим $y$ на $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y) \cdot 1)$

Этап 2.8

Умножим $\sin (x y)$ на $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - (x (\cos (x y) y)) - \sin (x y)$

Этап 3.2

Вычтем $- (- x (\cos (x y) y) - \sin (x y))$ из $0$ .

$- x (\cos (x y) y) - \sin (x y)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$- x y \cos (x y) - \sin (x y)$