Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Этап 1.2.2.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Этап 1.2.2.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

Этап 1.2.2.3.4

Умножим $- 9$ на $9$ .

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

Этап 1.2.2.3.5

Вычтем $81$ из $27$ .

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

Этап 1.2.2.3.6

Умножим $24$ на $3$ .

$- 54 + 72 - 18$

Этап 1.2.2.3.7

Добавим $- 54$ и $72$ .

$18 - 18$

Этап 1.2.2.3.8

Вычтем $18$ из $18$ .

$0$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

Этап 1.2.2.5

Разделим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

Этап 1.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 1.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 1.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Этап 1.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 18 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Этап 1.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

Этап 1.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Этап 1.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Этап 1.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Этап 1.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x - 18$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Этап 1.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

Этап 1.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 6$

Этап 1.2.2.6

Запишем $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{2} - 6 x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{2} - 6 x + 6$ к $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ верно.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $- 9$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $24$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 18$

Этап 2.2.4.2.3

Вычтем $18$ из $0$ .

$y = - 18$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 18)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 18)$

Этап 4