Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x = 0$ .

$3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}}$ из $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}}$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 2 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}}$ из $- 2 x$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}}$ из $x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x^{\frac{1}{3}})$ .

$x^{\frac{2}{3}} (3 - 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0$

$3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{\frac{2}{3}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{\frac{2}{3}}$ к $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{\frac{2}{3}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Упростим $\pm 0^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm 0^{3}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.4

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $3 - 2 x^{\frac{1}{3}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $3 - 2 x^{\frac{1}{3}}$ к $0$ .

$3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Этап 1.2.5.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Упростим ${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 2)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 8 x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.4

Упростим.

$- 8 x = {(- 3)}^{3}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 8 x = - 27$

Этап 1.2.5.2.4

Разделим каждый член $- 8 x = - 27$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Разделим каждый член $- 8 x = - 27$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Этап 1.2.5.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 27}{- 8}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{27}{8}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{\frac{2}{3}} (3 - 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{27}{8}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\frac{27}{8}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.3

Упростим $3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.3.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.3.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.3.1.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\frac{27}{8}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4