Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 36, \pm 9, \pm 18, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 2.25$

Этап 1.2.2.3

Подставим $4.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Подставим $4.5$ в многочлен.

$4 \cdot {4.5}^{3} - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $4.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot 91.125 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Этап 1.2.2.3.3

Умножим $4$ на $91.125$ .

$364.5 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Этап 1.2.2.3.4

Возведем $4.5$ в степень $2$ .

$364.5 - 24 \cdot 20.25 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Этап 1.2.2.3.5

Умножим $- 24$ на $20.25$ .

$364.5 - 486 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Этап 1.2.2.3.6

Вычтем $486$ из $364.5$ .

$- 121.5 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Этап 1.2.2.3.7

Умножим $35$ на $4.5$ .

$- 121.5 + 157.5 - 36$

Этап 1.2.2.3.8

Добавим $- 121.5$ и $157.5$ .

$36 - 36$

Этап 1.2.2.3.9

Вычтем $36$ из $36$ .

$0$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $4.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 9$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36}{2 x - 9}$

Этап 1.2.2.5

Разделим $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ на $2 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$36$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$

Этап 1.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			+	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 18 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Этап 1.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Этап 1.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Этап 1.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 27 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Этап 1.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$

Этап 1.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Этап 1.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Этап 1.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							+	$8 x$	-	$36$

Этап 1.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x - 36$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$

Этап 1.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$
										$0$

Этап 1.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 3 x + 4$

Этап 1.2.2.6

Запишем $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ в виде набора множителей.

$(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 9 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $2 x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $2 x - 9$ к $0$ .

$2 x - 9 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $2 x - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 9$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 9$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Этап 1.2.5

Приравняем $2 x^{2} - 3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $2 x^{2} - 3 x + 4$ к $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 3$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Вычтем $32$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Вычтем $32$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Вычтем $32$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$ верно.

$x = \frac{9}{2}, \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\frac{9}{2}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} + 35 (0) - 36$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Этап 2.2.4

Упростим $4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 35 (0) - 36$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 24$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 35 (0) - 36$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $35$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 36$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 36$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 36$

Этап 2.2.4.2.3

Вычтем $36$ из $0$ .

$y = - 36$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 36)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\frac{9}{2}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 36)$

Этап 4