Математический анализ Примеры

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 8 x - 16 y - 20 = 0$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 8 x - 16 \cdot 0 - 20 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 8 x - 16 \cdot 0 - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x^{2} + 4 \cdot 0 - 8 x - 16 \cdot 0 - 20 = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 8 x - 16 \cdot 0 - 20 = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Умножим $- 16$ на $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 20 = 0$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{2} - 8 x + 0 - 20 = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $4 x^{2} - 8 x$ и $0$ .

$4 x^{2} - 8 x - 20 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 8 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 8 x - 20 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) - 20 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 5 = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 2 x)$ .

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 5 = 0$

Этап 1.2.2.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 5$ .

$4 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 2 x - 5) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x^{2} - 2 x - 5$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x - 5 = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Этап 1.2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 1.2.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 1.2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{6}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 1.2.8.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 1.2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{6}$

Этап 1.2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(1 + \sqrt{6}, 0), (1 - \sqrt{6}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20 = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 4 y^{2} - 8 \cdot 0 - 16 y - 20 = 0$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$0 + 4 y^{2} + 0 - 16 y - 20 = 0$

Этап 2.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 4 y^{2} + 0 - 16 y - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $0$ и $4 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 0 - 16 y - 20 = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $4 y^{2}$ и $0$ .

$4 y^{2} - 16 y - 20 = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} - 16 y - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$4 (y^{2}) - 16 y - 20 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 y$ .

$4 (y^{2}) + 4 (- 4 y) - 20 = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$4 y^{2} + 4 (- 4 y) + 4 \cdot - 5 = 0$

Этап 2.2.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} + 4 (- 4 y)$ .

$4 (y^{2} - 4 y) + 4 \cdot - 5 = 0$

Этап 2.2.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2} - 4 y) + 4 \cdot - 5$ .

$4 (y^{2} - 4 y - 5) = 0$

Этап 2.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Разложим $y^{2} - 4 y - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 2.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((y - 5) (y + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (y - 5) (y + 1) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 2.2.5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (y - 5) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 5, - 1$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 5), (0, - 1)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(1 + \sqrt{6}, 0), (1 - \sqrt{6}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 5), (0, - 1)$

Этап 4