Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x + 5}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 5$ и $g (x) = \sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\sqrt{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 4.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{x}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{x} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- (2 x)$ .

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{x} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.3

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.4

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.5

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.5.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.7

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 11.4

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Этап 11.4.5

Упростим.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Чтобы записать $- x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.2

Объединим $- x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.4.1.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.1.3

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.4.1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- (2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{2}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{1} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.1.3

Упростим $2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{- (2 x + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Этап 11.6.5

Чтобы записать $2 \sqrt{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.6

Объединим $2 \sqrt{x}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- (2 x + 5) + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.4

Умножим $2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.8.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.4.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.8.4.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.4.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.5

Упростим.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.6.8.6

Добавим $- 2 x$ и $4 x$ .

$\frac{\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 11.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 11.8

Умножим $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Умножим $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 11.8.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 11.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 11.8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 11.8.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$