Математический анализ Примеры

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ .

$3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{1}{2} x)$ на $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Этап 1.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{1}{2} x = \arccos (0)$

Этап 1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 1.2.7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1

Упростим $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.8.2.2.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.8.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.8.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.8.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Этап 1.2.8.2.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 π - π$

Этап 1.2.8.2.2.1.6

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = 3 π$

Этап 1.2.9

Найдем период $\cos (\frac{1}{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.9.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 1.2.9.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 1.2.9.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 1.2.10

Период функции $\cos (\frac{1}{2} x)$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.11

Объединим ответы.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

Точки пересечения с осью x: $(π + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Этап 2.2.3

Упростим $3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$y = 3 \cos (0)$

Этап 2.2.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$y = 3 \cdot 1$

Этап 2.2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$y = 3$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 3)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

Точки пересечения с осью x: $(π + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Точки пересечения с осью y: $(0, 3)$

Этап 4