Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Этап 1.2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 8 u + 8 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 1.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $32$ из $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $32$ из $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = 4 + 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Вычтем $32$ из $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.7.3

Упростим $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = 4 - 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 4 + 2 \sqrt{2}, 4 - 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 6.82842712$

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Этап 1.2.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 6.82842712$

Этап 1.2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6.82842712}$

Этап 1.2.11.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6.82842712}$

Этап 1.2.11.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6.82842712}$

Этап 1.2.11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}$

Этап 1.2.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Этап 1.2.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1.17157287$

Этап 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.17157287}$

Этап 1.2.13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{1.17157287}$

Этап 1.2.13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{1.17157287}$

Этап 1.2.13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Этап 1.2.14

Решением $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ является $x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$ .

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 8$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{2} + 8$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 8$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 8$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 8$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$y = 8$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 8)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 8)$

Этап 4