Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x$

Этап 1

Приравняем $5 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x$ к $0$ .

$5 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{3}$ .

$x (5 x^{2}) - 11 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 11 x^{2}$ .

$x (5 x^{2}) + x (- 11 x) - 12 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 12 x$ .

$x (5 x^{2}) + x (- 11 x) + x \cdot - 12 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{2}) + x (- 11 x)$ .

$x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot - 12 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot - 12$ .

$x (5 x^{2} - 11 x - 12) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 12 = - 60$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$x (5 x^{2} - 11 x - 12) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.2

Запишем $- 11$ как $4$ плюс $- 15$

$x (5 x^{2} + (4 - 15) x - 12) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (5 x^{2} + 4 x - 15 x - 12) = 0$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((5 x^{2} + 4 x) - 15 x - 12) = 0$

Этап 2.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x (5 x + 4) - 3 (5 x + 4)) = 0$

Этап 2.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x + 4$ .

$x ((5 x + 4) (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (5 x + 4) (x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $5 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 4$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{5}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (5 x + 4) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{4}{5}, 3$

Этап 3