Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$

Этап 1

Приравняем $2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$ к $0$ .

$2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$2 x^{4} - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (x^{4}) + 2 (- 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4}) + 2 (- 1)$ .

$2 (x^{4} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.6.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{3} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) - 5 x = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $5 x$ из $- 5 x$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) + 5 x (- 1) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.8

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.1.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.10

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.10.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $5 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x) = 0$

Этап 2.1.10.3

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x)$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) + 5 x) = 0$

Этап 2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 \cdot 1 + 5 x) = 0$

Этап 2.1.12

Умножим $2$ на $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 + 5 x) = 0$

Этап 2.1.13

Изменим порядок членов.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 2) = 0$

Этап 2.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 (x) + 2) = 0$

Этап 2.1.14.1.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + (1 + 4) x + 2) = 0$

Этап 2.1.14.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2) = 0$

Этап 2.1.14.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + x + 4 x + 2) = 0$

Этап 2.1.14.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + x) + 4 x + 2) = 0$

Этап 2.1.14.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x - 1) (x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.14.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x + 1) (x + 2)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - \frac{1}{2}, - 2$

Этап 3