Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 15 x^{3} + 84 x^{2} - 208 x + 192$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 15 x^{3} + 84 x^{2} - 208 x + 192$ к $0$ .

$x^{4} - 15 x^{3} + 84 x^{2} - 208 x + 192 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $x^{4} - 15 x^{3} + 84 x^{2} - 208 x + 192$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

Этап 2.1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{4} - 15 \cdot 3^{3} + 84 \cdot 3^{2} - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 - 15 \cdot 3^{3} + 84 \cdot 3^{2} - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 - 15 \cdot 27 + 84 \cdot 3^{2} - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $- 15$ на $27$ .

$81 - 405 + 84 \cdot 3^{2} - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.5

Вычтем $405$ из $81$ .

$- 324 + 84 \cdot 3^{2} - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 324 + 84 \cdot 9 - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.7

Умножим $84$ на $9$ .

$- 324 + 756 - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим $- 324$ и $756$ .

$432 - 208 \cdot 3 + 192$

Этап 2.1.1.3.9

Умножим $- 208$ на $3$ .

$432 - 624 + 192$

Этап 2.1.1.3.10

Вычтем $624$ из $432$ .

$- 192 + 192$

Этап 2.1.1.3.11

Добавим $- 192$ и $192$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 15 x^{3} + 84 x^{2} - 208 x + 192}{x - 3}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $x^{4} - 15 x^{3} + 84 x^{2} - 208 x + 192$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $48 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $48 x^{2} - 144 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

$64 x$

Этап 2.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

$64 x$

$192$

Этап 2.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 64 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

$64 x$

$192$

Этап 2.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

$64 x$

$192$

$64 x$

$192$

Этап 2.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 64 x + 192$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

$64 x$

$192$

$64 x$

$192$

Этап 2.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$84 x^{2}$

$208 x$

$192$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$84 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$48 x^{2}$

$208 x$

$48 x^{2}$

$144 x$

$64 x$

$192$

$64 x$

$192$

$0$

Этап 2.1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Этап 2.1.1.6

Запишем $x^{4} - 15 x^{3} + 84 x^{2} - 208 x + 192$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Этап 2.1.2.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

Этап 2.1.2.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 64$

Этап 2.1.2.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 12 \cdot 16 + 48 \cdot 4 - 64$

Этап 2.1.2.3.4

Умножим $- 12$ на $16$ .

$64 - 192 + 48 \cdot 4 - 64$

Этап 2.1.2.3.5

Вычтем $192$ из $64$ .

$- 128 + 48 \cdot 4 - 64$

Этап 2.1.2.3.6

Умножим $48$ на $4$ .

$- 128 + 192 - 64$

Этап 2.1.2.3.7

Добавим $- 128$ и $192$ .

$64 - 64$

Этап 2.1.2.3.8

Вычтем $64$ из $64$ .

$0$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}{x - 4}$

Этап 2.1.2.5

Разделим $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$48 x$

$64$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$

Этап 2.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

Этап 2.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$

Этап 2.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 2.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 32 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

Этап 2.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$

Этап 2.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Этап 2.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Этап 2.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Этап 2.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x - 64$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Этап 2.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$48 x$	-	$64$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$48 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$
										$0$

Этап 2.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 8 x + 16$

Этап 2.1.2.6

Запишем $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ в виде набора множителей.

$(x - 3) ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x - 3) ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Этап 2.1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 2.1.3.3

Перепишем многочлен.

$(x - 3) ((x - 4) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 2.1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x - 3) ((x - 4) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$(x - 3) ((x - 4) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 3) {(x - 4)}^{1 + 2} = 0$

Этап 2.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x - 3) {(x - 4)}^{3} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

${(x - 4)}^{3} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 4)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 4)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 4)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) {(x - 4)}^{3} = 0$ верно.

$x = 3, 4$

Этап 3