Математический анализ Примеры

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

Этап 1

Цепное правило гласит, что производная $y$ по $x$ равна произведению производной $y$ по $u$ на производную $u$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Этап 2

Найдем $\frac{d y}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $u^{2} + 1$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$2 u + 0$

Этап 2.4

Добавим $2 u$ и $0$ .

$2 u$

Этап 3

Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 4

Умножим $\frac{d y}{d u}$ на $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

Этап 5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

Этап 6

Подставим значение $u$ в производную $6 u$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

Этап 7

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

Этап 7.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

Этап 7.2.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$