Математический анализ Примеры

$0 = - 2 \cos (X) + 2 \cos (2 X)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2 \cos (X)$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (X) = 2 \cos (2 X)$

Этап 1.2

Вычтем $2 \cos (2 X)$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (X) - 2 \cos (2 X) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos (X) - 2 (2 \cos^{2} (X) - 1) = 0$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (X) - 2 (2 \cos^{2} (X)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2 = 0$

Этап 3

Разложим $2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (X)$ .

$2 \cos (X) - 4 \cos^{2} (X) + 2 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \cos^{2} (X)$ .

$2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X)) + 2 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1) = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (X) + 2 (- 2 \cos^{2} (X))$ .

$2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1) = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X)) + 2 (1)$ .

$2 (\cos (X) - 2 \cos^{2} (X) + 1) = 0$

Этап 3.2

Пусть $u = \cos (X)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (X)$ для всех.

$2 (u - 2 u^{2} + 1) = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок членов.

$2 (- 2 u^{2} + u + 1) = 0$

Этап 3.3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим на $1$ .

$2 (- 2 u^{2} + 1 u + 1) = 0$

Этап 3.3.2.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$2 (- 2 u^{2} + (- 1 + 2) u + 1) = 0$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- 2 u^{2} - 1 u + 2 u + 1) = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((- 2 u^{2} - 1 u) + 2 u + 1) = 0$

Этап 3.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (u (- 2 u - 1) - (- 2 u - 1)) = 0$

Этап 3.3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 u - 1$ .

$2 ((- 2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (X)$ .

$2 ((- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1)) = 0$

Этап 3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 \cos (X) - 1 = 0$

$\cos (X) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $- 2 \cos (X) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $- 2 \cos (X) - 1$ к $0$ .

$- 2 \cos (X) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $- 2 \cos (X) - 1 = 0$ относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \cos (X) = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \cos (X) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (X) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (X)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (X)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (X)$ на $1$ .

$\cos (X) = \frac{1}{- 2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (X) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $X$ из косинуса.

$X = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$X = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$X = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$X = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$X = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$X = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$X = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 5.2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$X = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.2.7

Найдем период $\cos (X)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\cos (X)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$X = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos (X) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (X) - 1$ к $0$ .

$\cos (X) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (X) - 1 = 0$ относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (X) = 1$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $X$ из косинуса.

$X = \arccos (1)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$X = 0$

Этап 6.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$X = 2 π - 0$

Этап 6.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$X = 2 π$

Этап 6.2.6

Найдем период $\cos (X)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7

Период функции $\cos (X)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$X = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (- 2 \cos (X) - 1) (\cos (X) - 1) = 0$ верно.

$X = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$X = \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9