Математический анализ Примеры

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

Этап 1

Цепное правило гласит, что производная $y$ по $x$ равна произведению производной $y$ по $u$ на производную $u$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Этап 2

Найдем $\frac{d y}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.6

Объединим $\frac{3}{2}$ и $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3

Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 4

Умножим $\frac{d y}{d u}$ на $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

Этап 5

Упростим правую часть $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

Этап 6

Подставим значение $u$ в производную $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$