Математический анализ Примеры

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Этап 1

Цепное правило гласит, что производная $y$ по $x$ равна произведению производной $y$ по $u$ на производную $u$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Этап 2

Найдем $\frac{d y}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ имеет вид $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , где $f (u) = u + 1$ и $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $u + 1$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Этап 2.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $u$ из $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $1 \cdot 1$ из $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Этап 3

Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2}$

Этап 4

Умножим $\frac{d y}{d u}$ на $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Этап 5

Упростим правую часть $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Этап 5.1.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Этап 5.1.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Этап 5.2

Перенесем $- 6$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Этап 6

Подставим значение $u$ в производную $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Этап 7

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Этап 7.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Этап 7.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Этап 7.1.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Этап 7.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Этап 7.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Этап 7.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Этап 7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$