Математический анализ Примеры

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

Этап 1

Цепное правило гласит, что производная $y$ по $x$ равна произведению производной $y$ по $u$ на производную $u$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Этап 2

Найдем $\frac{d y}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $u^{2} + u - 2$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

Этап 2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $u$ , производная $- 2$ относительно $u$ равна $0$ .

$2 u + 1 + 0$

Этап 2.5

Добавим $2 u + 1$ и $0$ .

$2 u + 1$

Этап 3

Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4

Умножим $\frac{d y}{d u}$ на $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

Этап 5

Упростим правую часть $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Этап 5.2

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Этап 5.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{- 2}{x^{2}}$ и $u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 6

Подставим значение $u$ в производную $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.3

Объединим.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$