Математический анализ Примеры

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

Этап 1

Цепное правило гласит, что производная $w$ по $t$ равна произведению производной $w$ по $u$ на производную $u$ по $t$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2}$

Этап 3

Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t - 1$ и $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $t + 1$ на $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим противоположные члены в $t + 1 - t - - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4

Умножим $\frac{d w}{d u}$ на $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

Этап 5

Упростим правую часть $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

Этап 5.2

Умножим $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ и $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 6

Подставим значение $u$ в производную $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 7

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило умножения к $\frac{t - 1}{t + 1}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Объединим $6$ и $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 7.4

Объединим.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

Этап 7.5

Умножим ${(t + 1)}^{2}$ на ${(t + 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

Этап 7.5.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

Этап 7.6

Умножим $6 {(t - 1)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$