Математический анализ Примеры

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ имеет вид $n A^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2000$ является константой относительно $A$ , производная $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ по $A$ равна $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ имеет вид $f' (g (A)) g' (A)$ , где $f (A) = A^{60}$ и $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $60$ на $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $1 + \frac{r}{12}$ по $A$ имеет вид $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $A$ , производная $1$ относительно $A$ равна $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Этап 3.3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

Этап 3.3.5

Поскольку $\frac{1}{12}$ является константой относительно $A$ , производная $\frac{r}{12}$ по $A$ равна $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

Этап 3.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Объединим $\frac{1}{12}$ и $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Этап 3.3.6.2

Объединим $\frac{120000}{12}$ и ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Этап 3.3.6.3

Сократим общий множитель $120000$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.3.1

Вынесем множитель $12$ из $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Этап 3.3.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.3.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

Этап 3.3.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

Этап 3.3.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

Этап 3.3.6.3.2.4

Разделим $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ на $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d A} [r]$ в виде $r'$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Этап 5

Решим относительно $r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ на $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ на $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $10000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $r'$ на $1$ .

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

Этап 5.2.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

Этап 5.2.3.1.3

Применим правило умножения к $\frac{12 + r}{12}$ .

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Этап 5.2.3.2

Объединим $10000$ и $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ .

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Этап 5.2.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Этап 5.2.3.4

Умножим $\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ на $1$ .

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Этап 6

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d A}$ .

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$