Математический анализ Примеры

$q = \frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2})$

Этап 2

Производная $q$ по $t$ равна $q'$ .

$q'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = t + 2$ .

$\frac{(t + 2) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.6

Умножим $t + 2$ на $1$ .

$\frac{t + 2 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{t + 2 - t \cdot 1}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{t + 2 - t}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.9

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{0 + 2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.2.10

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 (2 t)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 6 t$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$q' = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $q'$ на $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$