Математический анализ Примеры

$q = \sqrt{20 r - r^{7}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{20 r - r^{7}}$ в виде ${(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} ({(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $q$ по $r$ равна $q'$ .

$q'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ и $g (r) = 20 r - r^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $20 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $20 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Этап 4.7

По правилу суммы производная $20 r - r^{7}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Этап 4.8

Поскольку $20$ является константой относительно $r$ , производная $20 r$ по $r$ равна $20 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Этап 4.10

Умножим $20$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Этап 4.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $r$ , производная $- r^{7}$ по $r$ равна $- \frac{d}{d r} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d r} [r^{7}])$

Этап 4.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (7 r^{6}))$

Этап 4.13

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$

Этап 4.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$ .

$(20 - 7 r^{6}) \frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.14.2

Умножим $20 - 7 r^{6}$ на $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$q' = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $q'$ на $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$