Математический анализ Примеры

$R = 5 \tan^{2} (3 π t)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (R) = \frac{d}{d t} (5 \tan^{2} (3 π t))$

Этап 2

Производная $R$ по $t$ равна $R'$ .

$R'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 \tan^{2} (3 π t)$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \tan (3 π t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (3 π t)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (3 π t)$ .

$5 (2 \tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 (\tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 π t])$

Этап 3.4.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $3 π$ является константой относительно $t$ , производная $3 π t$ по $t$ равна $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $10$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \cdot 1)$

Этап 3.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $π$ на $1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$

Этап 3.5.4.2

Изменим порядок множителей в $30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$ .

$30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$R' = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Этап 5

Заменим $R'$ на $\frac{d R}{d t}$ .

$\frac{d R}{d t} = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$