Математический анализ Примеры

$s = 2 \cot (t + e^{- t})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (2 \cot (t + e^{- t}))$

Этап 2

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 \cot (t + e^{- t})$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cot (t)$ и $g (t) = t + e^{- t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $t + e^{- t}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Этап 3.2.2

Производная $\cot (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$2 (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t + e^{- t}$ .

$2 (- \csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $t + e^{- t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot - 1)$

Этап 3.5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- t}$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - 1 \cdot e^{- t})$

Этап 3.5.3.3

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Этап 5

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$