Математический анализ Примеры

$s = 3 \cos (t^{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (3 \cos (t^{3}))$

Этап 2

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 \cos (t^{3})$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [\cos (t^{3})]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\cos (t^{3})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{3}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{3}$ .

$3 (- \sin (t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\sin (t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 \sin (t^{3}) (3 t^{2})$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9 \sin (t^{3}) t^{2}$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- 9 \sin (t^{3}) t^{2}$ .

$- 9 t^{2} \sin (t^{3})$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = - 9 t^{2} \sin (t^{3})$

Этап 5

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = - 9 t^{2} \sin (t^{3})$