Математический анализ Примеры

$s = \sqrt{t} + 7 t^{2}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2})$

Этап 3

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7 t^{2}$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 (2 t)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 14 t$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Этап 4.4.3

Изменим порядок членов.

$14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$