Математический анализ Примеры

$s = t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} + \frac{9}{t^{2}})$

Этап 2

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{9}{t^{2}}$ по $t$ равна $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{t^{2}}$ в виде ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2}$ .

$2 t + 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 t + 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Этап 3.2.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t + 9 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Этап 3.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 t + 9 (- t^{- 4} (2 t))$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 4} t)$

Этап 3.2.7

Возведем $t$ в степень $1$ .

$2 t + 9 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Этап 3.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 t + 9 (- 2 t^{1 - 4})$

Этап 3.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 3})$

Этап 3.2.10

Умножим $- 2$ на $9$ .

$2 t - 18 t^{- 3}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t - 18 \frac{1}{t^{3}}$

Этап 3.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $- 18$ и $\frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t + \frac{- 18}{t^{3}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Этап 5

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$