Математический анализ Примеры

$r = 70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (70 (30 x - x^{\frac{3}{2}}))$

Этап 2

Производная $r$ по $x$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $70$ является константой относительно $x$ , производная $70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$ по $x$ равна $70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $30 x - x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Этап 3.3

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 x$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$70 (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$70 (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Этап 3.5

Умножим $30$ на $1$ .

$70 (30 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (30 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Этап 3.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 3.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Этап 3.11.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3.12

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$70 (30 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$70 \cdot 30 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Этап 3.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Умножим $70$ на $30$ .

$2100 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Этап 3.13.2.2

Умножим $- 1$ на $70$ .

$2100 - 70 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.13.2.3

Объединим $- 70$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2100 + \frac{- 70 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 3.13.2.4

Умножим $3$ на $- 70$ .

$2100 + \frac{- 210 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.13.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 210 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 3.13.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Этап 3.13.2.6.2

Сократим общий множитель.

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.13.2.6.3

Перепишем это выражение.

$2100 + \frac{- 105 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Этап 3.13.2.6.4

Разделим $- 105 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$2100 - 105 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.13.3

Изменим порядок членов.

$- 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Этап 5

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$