Математический анализ Примеры

$v = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от скобок.

$r' = \frac{1}{3} \cdot ((p r^{2}) h)$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

$r' = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r'} r' = \frac{d}{d r'} (\frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h))$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{r'}^{n}]$ имеет вид $n {r'}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $p$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Этап 4.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $r^{2}$ и $\frac{p}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p}{3} \cdot h]$

Этап 4.1.2.2

Объединим $\frac{r^{2} p}{3}$ и $h$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p h}{3}]$

Этап 4.1.3

Поскольку $\frac{p h}{3}$ является константой относительно $r'$ , производная $\frac{r^{2} p h}{3}$ по $r'$ равна $\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$ .

$\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (r'))]$ имеет вид $f' (g (r')) g' (r')$ , где $f (r') = {r'}^{2}$ и $g (r') = r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r$ .

$\frac{p h}{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d v} [r])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{p h}{3} (2 u \frac{d}{d v} [r])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $r$ .

$\frac{p h}{3} (2 r \frac{d}{d v} [r])$

Этап 4.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{p h}{3}$ .

$\frac{2 (p h)}{3} (r \frac{d}{d v} [r])$

Этап 4.3.2

Объединим $r$ и $\frac{2 (p h)}{3}$ .

$\frac{r (2 (p h))}{3} \frac{d}{d v} [r]$

Этап 4.3.3

Перенесем $2$ влево от $r$ .

$\frac{2 \cdot r p h}{3} \frac{d}{d v} [r]$

Этап 4.4

Перепишем $\frac{d}{d v} [r]$ в виде $r'$ .

$\frac{2 r p h}{3} r'$

Этап 4.5

Объединим $\frac{2 r p h}{3}$ и $r'$ .

$\frac{2 r p h r'}{3}$

Этап 4.6

Изменим порядок членов.

$\frac{2 h p r r'}{3}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{2 h p r r'}{3}$

Этап 6

Решим относительно $r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 h p r r'}{3} = 1$ .

$\frac{2 h p r r'}{3} = 1$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 h p r r') = \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 h p r r'$ .

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$h p r r' = \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$h p r r' = \frac{3}{2}$

Этап 6.4

Разделим каждый член $h p r r' = \frac{3}{2}$ на $h p r$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $h p r r' = \frac{3}{2}$ на $h p r$ .

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Этап 6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Этап 6.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Этап 6.4.2.3

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Этап 6.4.2.3.2

Разделим $r'$ на $1$ .

$r' = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{h p r}$

Этап 6.4.3.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{h p r}$ .

$r' = \frac{3}{2 h p r}$

Этап 7

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d v}$ .

$\frac{d r}{d v} = \frac{3}{2 h p r}$