Математический анализ Примеры

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

Этап 2

Производная $w$ по $p$ равна $w'$ .

$w'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ имеет вид $f' (g (p)) g' (p)$ , где $f (p) = \log_{8} (p)$ и $g (p) = 2^{p} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Этап 3.1.2

Производная $\log_{8} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2^{p} - 1$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ имеет вид $a^{p} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $p$ , производная $- 1$ относительно $p$ равна $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

Этап 3.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $2^{p} \ln (2)$ и $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

Этап 3.4.2.2

Объединим $2^{p}$ и $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

Этап 3.4.2.3

Объединим $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ и $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

Этап 3.5.2

Перепишем $- 1 \ln (8)$ в виде $- \ln (8)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Этап 5

Заменим $w'$ на $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$