Математический анализ Примеры

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

Этап 2

Производная $w$ по $t$ равна $w'$ .

$w'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{90}$ и $g (t) = t^{7} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{7} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 90$ .

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{7} + 1$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $t^{7} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $7 t^{6}$ и $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

Этап 3.2.4.2

Умножим $7$ на $90$ .

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

Этап 3.2.4.3

Изменим порядок множителей в $630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ .

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Этап 5

Заменим $w'$ на $\frac{d w}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$