Математический анализ Примеры

$V = x (36 - x) (24 - 2 x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} (x (36 - x) (24 - 2 x))$

Этап 2

Производная $V$ по $x$ равна $V'$ .

$V'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x (36 - x)$ и $g (x) = 24 - 2 x$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $24 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.2.2

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (36 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (36 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (36 - x) (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (36 - x) \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $x (36 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (36 - x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Этап 3.3

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [36 - x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $36 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \cdot - 1 + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 1 \cdot x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.6.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \cdot 1)$

Этап 3.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $36 - x$ на $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + 36 - x)$

Этап 3.4.8.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Этап 3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Этап 3.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $36$ на $- 2$ .

$- 72 x - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 72 x + 2 x \cdot x + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 72 x + 2 x^{1 + 1} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.7

Умножим $- 2$ на $24$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.8

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x \cdot x + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.13

Умножим $24$ на $36$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 2 x \cdot 36$

Этап 3.5.5.14

Умножим $36$ на $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 72 x$

Этап 3.5.5.15

Вычтем $72 x$ из $- 48 x$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 120 x + 4 x^{2} + 864$

Этап 3.5.5.16

Вычтем $120 x$ из $- 72 x$ .

$2 x^{2} - 192 x + 4 x^{2} + 864$

Этап 3.5.5.17

Добавим $2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 192 x + 864$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$V' = 6 x^{2} - 192 x + 864$

Этап 5

Заменим $V'$ на $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 6 x^{2} - 192 x + 864$