Математический анализ Примеры

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 2

Производная $v'$ по $x$ равна $v''$ .

$v''$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.3.3

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.10.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.10.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.10.4

Объединим $2$ и $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.7

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 5

Заменим $v'$ на $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$