Математический анализ Примеры

$u = \ln (x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{3}}))$

Этап 2

Производная $u$ по $x$ равна $u'$ .

$u'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 3.9

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.10.2

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 3.11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 3.11.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Этап 3.11.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.11.1.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Этап 3.11.2

Упростим $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$u' = \frac{1}{3 x}$

Этап 5

Заменим $u'$ на $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d u}{d x} = \frac{1}{3 x}$