Математический анализ Примеры

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 5}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 u' - 5}$ в виде ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $u$ по $u'$ равна $u'$ .

$u'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ имеет вид $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ , где $f (u') = {u'}^{2}$ и $g (u') = {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ имеет вид $f' (g (u')) g' (u')$ , где $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ и $g (u') = 8 u' - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 u' - 5$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 u' - 5$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5] + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $8 u' - 5$ по $u'$ имеет вид $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 5]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.9

Поскольку $8$ является константой относительно $u'$ , производная $8 u'$ по $u'$ равна $8 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ имеет вид $n {u'}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.11

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.12

Поскольку $- 5$ является константой относительно $u'$ , производная $- 5$ относительно $u'$ равна $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13.2

Объединим $\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $8$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13.3

Перенесем $8$ влево от ${u'}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13.4

Вынесем множитель $2$ из $8 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ имеет вид $n {u'}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Этап 4.16

Перенесем $2$ влево от ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} u'$

Этап 4.17

Объединим $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} u'$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Перенесем ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.17.2

Чтобы записать $2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.18

Умножим ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Перенесем ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{1}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19

Упростим $2 u' {(8 u' - 5)}^{1}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 5)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.2.1.2

Умножим $u'$ на $u'$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.2.1.2.1

Перенесем $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.2.1.2.2

Умножим $u'$ на $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.2.1.3

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.2.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.2.2

Добавим $4 {u'}^{2}$ и $16 {u'}^{2}$ .

$\frac{20 {u'}^{2} - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.3

Вынесем множитель $10 u'$ из $20 {u'}^{2} - 10 u'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.3.1

Вынесем множитель $10 u'$ из $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{10 u' (2 u') - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.3.2

Вынесем множитель $10 u'$ из $- 10 u'$ .

$\frac{10 u' (2 u') + 10 u' \cdot - 1}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20.3.3

Вынесем множитель $10 u'$ из $10 u' (2 u') + 10 u' \cdot - 1$ .

$\frac{10 u' (2 u' - 1)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$u' = \frac{10 u' (2 u' - 1)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

Этап 7

Заменим $u'$ на $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$