Математический анализ Примеры

$\sin (27 x t) = t$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (27 x t)) = \frac{d}{d x} (t)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 27 x t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $27 x t$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [27 x t]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $27 x t$ .

$\cos (27 x t) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Этап 2.2

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27 x t$ по $x$ равна $27 \frac{d}{d x} [x t]$ .

$\cos (27 x t) (27 \frac{d}{d x} [x t])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = t$ .

$\cos (27 x t) (27 (x \frac{d}{d x} [t] + t \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [t]$ в виде $t'$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \cdot 1))$

Этап 2.6

Умножим $t$ на $1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t))$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (27 x t) (27 (x t') + 27 t)$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (27 x t) (27 (x t')) + \cos (27 x t) (27 t)$

Этап 2.7.3

Изменим порядок членов.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$

Этап 3

Перепишем $\frac{d}{d x} [t]$ в виде $t'$ .

$t'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Этап 5

Решим относительно $t'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$ .

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Этап 5.2

Вычтем $t'$ из обеих частей уравнения.

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) - t' = 0$

Этап 5.3

Вычтем $27 t \cos (27 x t)$ из обеих частей уравнения.

$27 x t' \cos (27 x t) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $t'$ из $27 x t' \cos (27 x t) - t'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $t'$ из $27 x t' \cos (27 x t)$ .

$t' (27 x \cos (27 x t)) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $t'$ из $- t'$ .

$t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1 = - 27 t \cos (27 x t)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $t'$ из $t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1$ .

$t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ на $27 x \cos (27 x t) - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ на $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $t'$ на $1$ .

$t' = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t' = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Этап 6

Заменим $t'$ на $\frac{d t}{d x}$ .

$\frac{d t}{d x} = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$