Математический анализ Примеры

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

Этап 2

Производная $f$ по $r$ равна $f'$ .

$f'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ имеет вид $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , где $f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ и $g (r) = 4 r^{4} - 7$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $4 r^{4} - 7$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $r$ , производная $4 r^{4}$ по $r$ равна $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2.4

Умножим $4$ на $4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $r$ , производная $- 7$ относительно $r$ равна $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $16 r^{3}$ и $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $16$ влево от $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ .

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Этап 3.2.8

Поскольку $- 6$ является константой относительно $r$ , производная $- 6 r^{9}$ по $r$ равна $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Этап 3.2.10

Умножим $9$ на $- 6$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Этап 3.2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $r$ , производная $- 1$ относительно $r$ равна $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Этап 3.2.12

Добавим $- 54 r^{8}$ и $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Этап 3.2.13

Поскольку $- 9$ является константой относительно $r$ , производная $- \frac{9}{r^{2}}$ по $r$ равна $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

Этап 3.2.14

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.14.1

Перепишем $\frac{1}{r^{2}}$ в виде ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

Этап 3.2.14.2

Перемножим экспоненты в ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.14.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

Этап 3.2.14.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

Этап 3.2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

Этап 3.2.16

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $- 6$ на $16$ .

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.2

Умножим $r^{9}$ на $r^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Перенесем $r^{3}$ .

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.2.3

Добавим $3$ и $9$ .

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.5

Объединим $- 16$ и $\frac{9}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.6

Умножим $- 16$ на $9$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.8

Объединим $r^{3}$ и $\frac{144}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.9

Перенесем $144$ влево от $r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.10

Сократим общий множитель $r^{3}$ и $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.10.1

Вынесем множитель $r^{2}$ из $144 r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.10.2.1

Умножим на $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.10.2.4

Разделим $144 r$ на $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.11

Умножим $144$ на $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 3.3.4.12

Объединим $18$ и $\frac{1}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Этап 3.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Развернем $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Этап 3.3.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Этап 3.3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.2

Умножим $r^{8}$ на $r^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.2.1

Перенесем $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.2.3

Добавим $4$ и $8$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.3

Умножим $- 54$ на $4$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.4

Умножим $- 7$ на $- 54$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.6

Умножим $4 \frac{18}{r^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.6.1

Объединим $4$ и $\frac{18}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.6.2

Умножим $4$ на $18$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.7

Сократим общий множитель $r^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.7.1

Вынесем множитель $r^{3}$ из $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.7.2

Сократим общий множитель.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.7.3

Перепишем это выражение.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Этап 3.3.6.2.8

Умножим $\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.8.1

Объединим $\frac{18}{r^{3}}$ и $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

Этап 3.3.6.2.8.2

Умножим $18$ на $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

Этап 3.3.6.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Этап 3.3.7

Вычтем $216 r^{12}$ из $- 96 r^{12}$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Этап 3.3.8

Вычтем $144 r$ из $72 r$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Этап 5

Заменим $f'$ на $\frac{d f}{d r}$ .

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$