Математический анализ Примеры

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $s$ , производная $\frac{1}{3} t^{3}$ по $s$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ имеет вид $f' (g (s)) g' (s)$ , где $f (s) = s^{3}$ и $g (s) = t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d s} [t]$ в виде $t'$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.5

Объединим $t^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.6

Объединим $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ и $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.7

Перенесем $3$ влево от $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.2.8.2

Разделим $t^{2} t'$ на $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $s$ , производная $- 5 t^{2}$ по $s$ равна $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d s} [t]$ в виде $t'$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $s$ , производная $16 t$ по $s$ равна $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.4.2

Перепишем $\frac{d}{d s} [t]$ в виде $t'$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $8$ является константой относительно $s$ , производная $8$ относительно $s$ равна $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ и $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Этап 5

Решим относительно $t'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $t'$ из $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $t'$ из $t^{2} t'$ .

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $t'$ из $- 10 t t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $t'$ из $16 t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $t'$ из $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ .

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $t'$ из $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ .

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

Этап 5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разложим $t^{2} - 10 t + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $- 10$ .

$- 8, - 2$

Этап 5.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

Этап 5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ на $(t - 8) (t - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ на $(t - 8) (t - 2)$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $t - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $t - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $t'$ на $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Этап 6

Заменим $t'$ на $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$