Математический анализ Примеры

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \cos (y)$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 3.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 3.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Поскольку $6$ является константой относительно $y$ , производная $6$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок множителей в $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.2

Вычтем $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ на $- \sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ на $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

Этап 6.3.3.2

Разделим дроби.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 6.3.3.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

Этап 6.3.3.4

Разделим $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

Этап 6.3.3.5

Объединим $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$