Математический анализ Примеры

$\sin (x) = e^{y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (\sin (x)) = \frac{d}{d y} (e^{y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \sin (y)$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\cos (x) x'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\cos (x) x' = e^{y}$

Этап 5

Разделим каждый член $\cos (x) x' = e^{y}$ на $\cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $\cos (x) x' = e^{y}$ на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим дроби.

$x' = \frac{e^{y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5.3.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$x' = \frac{e^{y}}{1} \sec (x)$

Этап 5.3.3

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$x' = e^{y} \sec (x)$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = e^{y} \sec (x)$