Математический анализ Примеры

$x y - e^{x y} = 7$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x y - e^{x y}) = \frac{d}{d y} (7)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y - e^{x y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Этап 2.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{x y}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x + y x' - \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$x + y x' - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x + y x' - (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$x + y x' - (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 2.3.3

$x + y x' - (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]))$

Этап 2.3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y x'))$

Этап 2.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$x + y x' - e^{x y} (x + y x')$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + y x' - e^{x y} x - e^{x y} (y x')$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$

Этап 3

Поскольку $7$ является константой относительно $y$ , производная $7$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$ .

$y x' - x e^{x y} - y x' e^{x y} + x = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $x e^{x y}$ к обеим частям уравнения.

$y x' - y x' e^{x y} + x = x e^{x y}$

Этап 5.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y x' - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y x'$ из $y x' - y x' e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y x'$ из $y x'$ .

$y x' \cdot 1 - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y x'$ из $- y x' e^{x y}$ .

$y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y x'$ из $y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y})$ .

$y x' (1 - 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Этап 5.4

Перепишем $- 1 e^{x y}$ в виде $- e^{x y}$ .

$y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ на $y (1 - e^{x y})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ на $y (1 - e^{x y})$ .

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $1 - e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$