Математический анализ Примеры

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{125 - p^{2}}$ в виде ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $x$ по $p$ равна $x'$ .

$x'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ имеет вид $f' (g (p)) g' (p)$ , где $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ и $g (p) = 125 - p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $125 - p^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $125 - p^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Этап 4.7

По правилу суммы производная $125 - p^{2}$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Этап 4.8

Поскольку $125$ является константой относительно $p$ , производная $125$ относительно $p$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Этап 4.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

Этап 4.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $p$ , производная $- p^{2}$ по $p$ равна $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

Этап 4.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

Этап 4.12.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

Этап 4.12.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $p$ .

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 p$ .

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$