Математический анализ Примеры

$x = a \cos^{3} (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d ?} (x) = \frac{d}{d ?} (a \cos^{3} (x))$

Этап 2

Производная $x$ по $?$ равна $x'$ .

$x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $a$ является константой относительно $?$ , производная $a \cos^{3} (x)$ по $?$ равна $a \frac{d}{d ?} [\cos^{3} (x)]$ .

$a \frac{d}{d ?} [\cos^{3} (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d ?} [f (g (?))]$ имеет вид $f' (g (?)) g' (?)$ , где $f (?) = ?^{3}$ и $g (?) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d ?} [\cos (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$a (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d ?} [\cos (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$a (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d ?} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $a$ .

$3 \cdot a \cos^{2} (x) \frac{d}{d ?} [\cos (x)]$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$3 a \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d ?} [x])$

Этап 3.4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$3 a \cos^{2} (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d ?} [x])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$3 a \cos^{2} (x) (- \sin (x) \frac{d}{d ?} [x])$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 a \cos^{2} (x) (\sin (x) \frac{d}{d ?} [x])$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d ?} [x]$ в виде $x'$ .

$- 3 a \cos^{2} (x) \sin (x) x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x' = - 3 a \cos^{2} (x) \sin (x) x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- 3 a \cos^{2} (x) \sin (x) x'$ .

$x' = - 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$

Этап 5.2

Добавим $3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$x' + 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' + 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из ${x'}^{1}$ .

$x' \cdot 1 + 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$x' \cdot 1 + x' (3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' \cdot 1 + x' (3 a \cos^{2} (x) \sin (x))$ .

$x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$ на $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$ на $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x))}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{0}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x))}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{0}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{0}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим $0$ на $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$x' = 0$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d ?}$ .

$\frac{d x}{d ?} = 0$