Математический анализ Примеры

$C = 0.001 x^{3} + 5 x + 250$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d C} (C) = \frac{d}{d C} (0.001 x^{3} + 5 x + 250)$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ имеет вид $n C^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $0.001 x^{3} + 5 x + 250$ по $C$ имеет вид $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$ .

$\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $0.001$ является константой относительно $C$ , производная $0.001 x^{3}$ по $C$ равна $0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}]$ .

$0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d C} [f (g (C))]$ имеет вид $f' (g (C)) g' (C)$ , где $f (C) = C^{3}$ и $g (C) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$0.001 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0.001 (3 u^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$0.001 (3 x^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d C} [x]$ в виде $x'$ .

$0.001 (3 x^{2} x') + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $0.001$ .

$0.003 x^{2} x' + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d C} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $C$ , производная $5 x$ по $C$ равна $5 \frac{d}{d C} [x]$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 \frac{d}{d C} [x] + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d C} [x]$ в виде $x'$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + \frac{d}{d C} [250]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $250$ является константой относительно $C$ , производная $250$ относительно $C$ равна $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ и $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $0.001 x'$ из $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$0.003 x' x^{2} + 5 x' = 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $0.001 x'$ из $0.003 x' x^{2}$ .

$0.001 x' (3 x^{2}) + 5 x' = 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $0.001 x'$ из $5 x'$ .

$0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000 = 1$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $0.001 x'$ из $0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000$ .

$0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ на $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ на $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ .

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $0.001$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $3 x^{2} + 5000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1 (1)$ .

$x' = \frac{1 (1)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Этап 5.3.3.2

Разделим дроби.

$x' = \frac{1}{0.001} \cdot \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Этап 5.3.3.3

Разделим $1$ на $0.001$ .

$x' = 1000 \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Этап 5.3.3.4

Объединим $1000$ и $\frac{1}{3 x^{2} + 5000}$ .

$x' = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d C}$ .

$\frac{d x}{d C} = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$