Математический анализ Примеры

$x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9 = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9) = \frac{d}{d t} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{4}$ и $g (t) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$4 x^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d t} [x]$ в виде $x'$ .

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [t^{4} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{4}$ и $g (t) = x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d t} [x]$ в виде $x'$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.3.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 9$ является константой относительно $t$ , производная $- 9$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$ и $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $t$ , производная $0$ относительно $t$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 t^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = - 3 t^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $4 t^{3} x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x'$ из $4 x^{3} x' + t^{4} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x'$ из $4 x^{3} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x'$ из $t^{4} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + x' (t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (4 x^{3}) + x' (t^{4})$ .

$x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ на $4 x^{3} + t^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ на $4 x^{3} + t^{4}$ .

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4 x^{3} + t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 3 t^{2} - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 3 t^{2}$ .

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 4 t^{3} x$ .

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 3 - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 t x$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - (4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (4 t x)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3 + 4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 5.3.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$