Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2})$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x y y' + 3 y^{2}$

Этап 3.8.3

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $6 x y y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

Этап 5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 y y'$ из $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 y y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 y y'$ из $- 6 x y y'$ .

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 y y'$ из $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ .

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ на $3 y (y - 2 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ на $3 y (y - 2 x)$ .

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $y - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y (y - 2 x)$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Этап 5.4.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Этап 5.4.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.2

Чтобы записать $\frac{y}{y - 2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - 2 x) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Умножим $\frac{y}{y - 2 x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(y - 2 x) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Этап 5.4.3.5.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$