Математический анализ Примеры

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

Этап 2

Производная $x$ по $p$ равна $x'$ .

$x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $500$ является константой относительно $p$ , производная $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ по $p$ равна $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

Этап 3.1.2

Перепишем $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ в виде $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ .

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ имеет вид $f' (g (p)) g' (p)$ , где $f (p) = p^{- 1}$ и $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Этап 3.4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{1}{p^{2} + 1}$ и $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Этап 3.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ и $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Этап 3.5.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Перенесем $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Этап 3.5.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Этап 3.5.3

По правилу суммы производная $p^{2} + 1$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

Этап 3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

Этап 3.5.5

Поскольку $1$ является константой относительно $p$ , производная $1$ относительно $p$ равна $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

Этап 3.5.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Добавим $2 p$ и $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

Этап 3.5.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Этап 3.5.6.3

Объединим $- 2$ и $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Этап 3.5.6.4

Умножим $- 2$ на $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Этап 3.5.6.5

Объединим $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ и $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Этап 3.5.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Этап 3.5.6.6.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Этап 5

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$