Математический анализ Примеры

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

Этап 2

Производная $V$ по $r$ равна $V'$ .

$V'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $p$ является константой относительно $r$ , производная $p r^{2} (2 p r - 24)$ по $r$ равна $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ имеет вид $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , где $f (r) = r^{2}$ и $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $2 p r - 24$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3.2

Поскольку $2 p$ является константой относительно $r$ , производная $2 p r$ по $r$ равна $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 24$ является константой относительно $r$ , производная $- 24$ относительно $r$ равна $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $2 p$ и $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

Этап 3.3.8

Перенесем $2$ влево от $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Возведем $p$ в степень $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.2

Возведем $p$ в степень $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.5

Перенесем $2$ влево от $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.7

Возведем $r$ в степень $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.8

Возведем $r$ в степень $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.10

Добавим $1$ и $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.11

Возведем $p$ в степень $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.12

Возведем $p$ в степень $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.14

Добавим $1$ и $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Этап 3.4.4.15

Умножим $2$ на $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Этап 3.4.4.16

Добавим $2 p^{2} r^{2}$ и $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Этап 3.4.5

Изменим порядок членов.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Этап 5

Заменим $V'$ на $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$